题目

设o为三角形ABC所在平面上一点.若实数x,y,z满足x向量OA+y向量OB+z向量OC=0向量,（x^2+y^2+c^2不等于0）,则xyz=0是“点O在三角形ABC的边所在直线上的 条件.

提问时间：2020-10-31

答案

因为 xyz=0 ,x^2+y^2+z^2 ≠ 0 ,
所以 x、y、z 中有一个为0,其余两个不为 0 ,或有一个不为 0 ,其余两个都为 0 .
1）不妨设 x=0 ,y、z 都不 0 ,则 yOB+zOC=0 向量,
因此 O 在直线 BC 上 ；
2）不妨设 x=y=0 ,z ≠ 0 ,则 zOC=0 向量,
因此 O 与 C 重合.
所以,xyz=0 ========> 点O在三角形ABC的边所在直线上；
反之,若 O 在三角形ABC的边所在直线上,不妨设 O 在直线 BC 上,
则由于 OB//OC ,所以存在不全为0的实数 y、z 使 yOB+zOC=0 ,
因此 0OA+yOB+zOC=0 ,
此时 若 xOA+yOB+zOC=0 ,则 x=0 ,且 x、y、z 不全为 0 ,故 xyz=0 .
综上,xyz=0 是 点O在三角形ABC的边所在直线上的〈充要〉条件.