题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

提问时间：2020-10-31

答案

（Ⅰ）证明：由S_n=4a_n-3，n=1时，a₁=4a₁-3，解得a₁=1．
因为S_n=4a_n-3，则S_n-1=4a_n-1-3（n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得an＝

4

3

an−1．又a₁=1≠0，
所以{a_n}是首项为1，公比为

4

3

的等比数列．
（Ⅱ）因为an＝(

4

3

)n−1，
由b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），得bn+1−bn＝(

4

3

)n−1．
可得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+

1−( 4 3 )n−1

1− 4 3

＝3(

4

3

)n−1−1，（n≥2）．
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{b_n}的通项公式为bn＝3(

4

3

)n−1−1．