题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，S_△ABC=

3 3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理，得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，即sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

4

，即

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，
∴bc=3，①
∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

，A=

π

3

，
∴b²+c²=6，②
由①②得b=c=

3

，
则△ABC为等边三角形．

（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出cosA的值，由A的范围即可确定出A的度数；
（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，将cosA，a的值代入求出b²+c²的值，联立求出b与c的值，即可确定出三角形的形状．

本题考点：正弦定理；三角形的形状判断．

考点点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．