题目

已知圆C：x²+y²=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程．

提问时间：2020-10-31

答案

分两种情况考虑：（i）当直线l的斜率不存在时（或直线l与x轴垂直），由P（1，2），得到直线l为x=1，该直线与圆x2+y2=4相交于两点A（1，3），B（1，-3），满足|AB|=23，符合题意；（4分）（ii）当直线l的斜率存在时，...

分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，根据直线l过P点，由P的坐标得出直线l的方程为x=1，经验证满足题意；当直线l的斜率存在时，设出斜率为k，由P及k表示出直线l的方程，根据圆的方程找出半径r=2及圆心坐标，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，进而由弦长的一半，圆的半径r及弦心距d，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此时直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

本题考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．

考点点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的点斜式方程，圆的标准方程，勾股定理，垂径定理，以及点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．