题目

若直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x-y=0对称，动点P（a，b）在不等式组

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域内部及边界上运动，ω=

b-2

a-1

的取值范围是 ___ ．

提问时间：2020-10-31

答案

由题意，得直线y=kx+1垂直于直线x-y=0
∴k=-1，即直线为y=-x+1
又∵圆心C（-

1

2

k，-

1

2

m）在直线x-y=0上，∴m=k=-1
因此，题中不等式组为

-x-y+2≥0 -x+y≤0 y≥0

，
作出不等式组表示的平面区域，如图所示
设Q（1，2），P（a，b）为区域内的动点，
可得ω=

b-2

a-1

表示直线PQ的斜率
运动点P，可得当P与原点重合时，k_PQ=2为斜率在正数范围内的最小值；
当P与A（2，0）重合时，k_PQ=-2为斜率在负数范围内的最大值
∴k_PQ≥2或k_PQ≤-2，得ω=

b-2

a-1

的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）

根据已知条件结合圆的性质求出k，m的值，再根据条件画出如图可行域．ω=

b-2

a-1

表示Q（1，2）与P（a，b）连线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求PQ斜率的最值，即可得到ω的取值范围．

本题考点：简单线性规划的应用．

考点点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是研究规划问题的基础，抓住斜率与倾斜角之间的关系求解是解决本题的关键．