题目

设a＞0,f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时,求函数最小值

提问时间：2020-10-30

答案

（1）当 1≤x≤e时,0≤lnx≤1,lnx -1≤0,
所以 f(x)=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2-alnx+a,
f‘（x）=2x-a/x=（2x²-a）/x,
如果a＜2,则f'(x)＞0,即f（x）在1≤x≤e上为增函数,f（x）min=f（1）=1；
如果2≤a≤2e²时,在1≤x＜√(a/2) f’（x）＜0,在 √(a/2) ＜x≤e f’（x）＞0,
所以 f（x）min=f（√(a/2) ）=3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²时,f'(x)＜0,即f（x）在1≤x≤e上为减函数,f（x）min=f（e）=e²；
函数的最小值为 f（1）=1；
（2）当x＞e时,f（x）=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2+alnx-a,
f‘（x）=2x+a/x＞0,即f（x）在x＞e上为增函数,
f（x）min=f（e）=e²；
综上,有
如果a＜2,f（x）的最小值为1；
如果2≤a≤2e²,f（x）的最小值为3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²,f（x）的最小值为e² .