题目

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且长分别为a，b，c，又（a²+b²）c=

6

，侧面PAB与底面ABC所成的角为60°，当三棱锥的体积最大时，则a的值为 ___ ．

提问时间：2020-10-30

答案

如图，根据已知条件得：V=

1

6

abc≤

1

12

(a2+b2)c=

6

12

，当且仅当a=b时取“=”；
过P作底面ABC的垂线，垂足为O，连接CO并延长交AB于D；
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P；
∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB；
∴PC⊥AB，即AB⊥PC；
又PO⊥底面ABC，AB⊂底面ABC；
∴PO⊥AB，即AB⊥PO，PC∩PO=P；
∴AB⊥平面PCO，CO⊂平面PCO；
∴AB⊥CO，即AB⊥CD，连接PD，∵AB⊥PO，AB⊥CD，CD∩PO=O；
∴AB⊥平面PCD，PD⊂平面PCD；
∴AB⊥PD，∴∠PDC是侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∴∠PDC=60°；
在Rt△PAB中，PA=PB=a，∴PD=

2 a

2

；
∴在Rt△PCD中，∠CPD=90°，∠PDC=60°，∴PC=c=PDtan60°=

2 a

2

•tan60°=

6 a

2

；
∴V=

1

6

abc=

6 a3

12

=

6

12

，∴a=1．
故答案为：1．

V=

1

6

abc≤

1

12

(a2+b2)c＝

6

12

，当a=b时取“=“，即a=b时，三棱锥的体积最大．过P作底面ABC的垂线，垂足为O，连接CO并延长交AB于D，并连接PD，能够说明∠PDC是侧面PAB和底面ABC所成二面角的平面角，所以∠PDC=60°．在直角三角形中，根据边角的关系可求得c=

6 a

2

，所以V=

6 a3

12

＝

6

12

，这样即可求得a．

本题考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：考查基本不等式：a²+b²≥2ab，三棱锥的体积公式，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，二面角，二面角的平面角．