题目

求曲线（根号X）十（根号Y）=1（X>o,y>o）在点（Xo,Yo）的切线方程

提问时间：2020-10-30

答案

分析：
(1).依题有a^2/c=sqrt(1/3),e=c/a=sqrt(3)
得a=1,c=sqrt(3),b=sqrt(2)
双曲线方程为 x^2-y^2/2=1.(1)
(2).设A(x1,y1),B(x2,y2),易见该问题中切线斜率存在
对方程 x^2+y^2=2两边求导有
2x+2yy'=0,得点P(xo,yo)处切线斜率
k=y'=-xo/yo
注意到P在圆上有 xo^2+yo^2=2
切线方程可写为:y=(-xo/yo)(x-xo)+yo
即:yoy=-xox+(xo^2+yo^2)
亦即:yoy=-xox+2.(2)
联立(1),(2)消去y整理有:
(2yo^2-xo^2)x^2+4xox-2yo^2-4=0
韦达定理有:
x1+x2=4xo/(xo^2-2yo^2).(3)
x1x2=(2yo^2+4)/(xo^2-2yo^2).(4)
又yo^2y1y2=(2-xox1)(2-xox2)
=4-2xo(x1+x2)+xo^2x1x2
则yo^2(x1x2+y1y2)=4-2xo(x1+x2)+(xo^2+yo^2)x1x2
=4-2xo(x1+x2)+2x1x2.(5)
将(3)(4)代入(5)整理有:
yo^2(x1x2+y1y2)=4[2-(xo^2+yo^2)]/(xo^2-2yo^2)=0
又yo!=0,则有x1x2+y1y2=0
可见OA垂直OB
因此,角AOB=Pi/2（定值）
（注:这样的问题可以试先取特殊值探索,比如本问题中可以取切线斜率为零,不难发现角AOB为pi/2,然后有针对性地去证明x1x2+y1y2=0就把问题解决了）