题目

已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5.(1证明tanA=2tanB (2)tanB的值 重点是!
重点是第二问!

提问时间：2020-10-30

答案

证明：
⑴
sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝3/5
sin(A－B)＝sinAcosB－sinBcosA＝1/5
两式相加,得：
2sinAcosB＝4/5
sinAcosB＝2/5 ①
则sinBcosA＝1/5 ②
①/②,得：
tanA/tanB＝2
即tanA＝2tanB
⑵
∵△ABC是锐角三角形
∴0＜C＜π/2
又A＋B＝π－C
∴π/2＜A＋B＜π
∵sin(A＋B)＝3/5
∴cos(A＋B)＝－√[1－sin²(A＋B)]＝－4/5
则tan(A＋B)＝sin(A＋B)/cos(A＋B)＝－3/4
即(tanA＋tanB)/(1－tanAtanB)＝－3/4
又tanA＝2tanB
∴3tanB/(1－2tan²B)＝－3/4
即2tan²B－4tanB－1＝0
解得tanB＝(4±2√6)/4
∵0＜B＜π/2
∴tanB＝(4＋2√6)/4＝1＋(√6)/2