题目

如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数．

提问时间：2020-10-30

答案

如图，在菱形ABCD中，AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=60°，
∴∠B=∠ACD=60°，
又∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACD=60°

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
∵由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，
∴∠CEF=∠BAE=15°．

根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=60°，再求出∠BAE=∠CAF，∠B=∠ACD，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再求出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AEF=60°，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，从而得到∠CEF=∠BAE．

本题考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形和等边三角形是解题的关键，也是本题的难点．