题目

点p(X,Y)是椭圆X^2/a^2+y^/b^2=1(a>b>1)上一点M满足.角F1PF2=α,其中F1F2为椭圆的两焦点
求证△F1PF2的面积是b^2tanα/2

提问时间：2020-10-30

答案

证明：记PF1=r1,PF2=r2,角F1PF2=@,
F1F2=2c,PF1+PF2=2a,a^2-b^2=c^2,
易知三角形PF1F2面积为S=(1/2)r1r2sin@,
在三角形PF1F2中由余弦定理得
cos@=(r1^2+r2^2-4c^2)/2r1r2
=[(r1+r2)^2-2r1r2-4c^2]/(2r1r2)
=(4a^2-4c^2-2r1r2)/(2r1r2)
=2b^2/(r1r2)-1,
于是得到
r1r2=2b^2/(1+cos@),
从而
S=(1/2)r1r2sin@
=b^2[sin@/(1+cos@)]
=b^2[2sin(@/2)cos(@/2)]/[2cos^2(@/2)]
=b^2tan(@/2),进而命题得证.