题目

请问各位数学高手一道题,题目就在问题补充那里,希望各位高手们能回答的详细,简单一点,谢谢!
1.设n是大于1的正整数,求证,n四次方+4是合数.
2.设p（p大等于5）是质数,并且2p+1也是质数,求证：4p+1是合数.
两道题,希望都能够讲解一下,谢谢!

提问时间：2020-10-30

答案

1.n^4+4=n^4+4+4n^2-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=[(n+1)^2+1][(n-1)^2+1]
n>1时,两个因数都大于1,所以n^4+4为合数
2.p>=5
则可设p=6k+1或6k-1
2p+1=12k+3或12k-1,而12k+3=3(4k+1)为合数
因为2p+1为质数,所以p只可能为6k-1
因此4p+1=24k-3=3(8k-1)为合数