题目

已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数

提问时间：2020-10-30

答案

mn│(m^2+n^2+m), 即m|n^2
n|(m^2+m)--> n|m(m+1), 因为m, m+1互质,所以需有：m=kn 或m+1=kn
当m+1=kn时,m=kn-1, 因为kn-1, n 互质,所以不可能m|n^2, 所以m+1不能为kn.
当m=kn时,由m|n^2得：k|n, 即n=kr, 因此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)
所以由mn|(m^2+n^2+1),得：kr|(k^2r+r+1), 因此r|1, 所以r=1.
故有：m=k^2为完全平方数.