题目

已知抛物线C,y^2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线L与C相交与A,B两点,点A关于X轴的对称点为D.
1,证明：点F在直线BD上.
2,设向量FA×向量FB=8/9,求三角形BDK的内切圆MC的方程.

提问时间：2020-10-30

答案

第一问时,如果按正常过程来做有点麻烦,所以我用了假设,第二问时我先算出BD直线的斜率求出BD,利用|(MD)|=|(MB)|=|(MK)|,(x)代表向量
以下过程代表个人意见
(1):AB直线（过K）设A(x1,y1)B(x2,y2)y=k(x+1)①,y²=4x②,①②→k²x²+(2k²-4)²+k²=0,x1+x2=(4-2k²)/k²③,x1x2=1④,y1y2=4⑨
假设F在BD上(问题转化为证明D为A的对称点即可)→设BD直线y=m(x-1)⑤,设D(a,b)②⑤→m²x-(2m²+4)x-4x=0→a+x2=2+4/m²⑥,ax2=1⑦→by2=-4⑧
⑦④→a=x1,⑧⑨→y1=-b
→D为A关于X轴的对称点（以上有些过程可省略~）
(2):根据(1)→(FA)(FB)=8/9
→(x1-1,y1)(x2-1,y2)=8/9
→k²=36/55
求出BD,AB直线方程即可,设圆心M(X,Y),M到直线BD,AB距离列出方程解答即可（我这种方法好像很麻烦,只是暂时没其他的解题方法）