题目

已知函数f(x)=x/lnx - ax(a∈R)(1)若实数a=0,求函数f(x)在区间(1.正无穷)上的最小值(2)若函数f(X)在其定
已知函数f(x)=x/lnx - ax(a∈R)
(1)若实数a=0,求函数f(x)在区间(1.正无穷)上的最小值
(2)若函数f(X)在其定义域上位减函数,求a的范围,
(3)若特定x1,x2∈[e,e^2],使f(x1)≤f(x2)+a成立,求a的范围

提问时间：2020-10-30

答案

(1) a=0时,f(x)=x/lnx ,令f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²=0,得 x=e
x∈(1,e)时,f'(x)＜0,f(x)单调减；x∈(e,+∞)时,f'(x)＞0,f(x)单调增,
所以,函数f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为 f(e)=e
(2)由题意,当x＞0时,f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²-a=(-aln²x+lnx-1)/ln²x≤0恒成立,
即-aln²x+lnx-1≤0恒成立,
即 a≥(lnx-1)/ln²x=-(1/lnx-1/2)²+1/4恒成立,
所以,a≥1/4
(3)"特定x1,x2∈[e,