题目
如图,已知点A,B,C,D均在已知圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10cm.
(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积(其中л≈3,
≈1.7).
(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积(其中л≈3,
3 |
提问时间:2020-10-30
答案
(1)∵AD∥BC,∠ADC=120°,
∴∠BCD=60°(2分)
又∵AC平分∠BCD,
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30度.(4分)
∴
=
,∠B=60度.
∴∠BAC=90°,(6分)
∴BC是圆的直径,BC=2AB.(7分)
∵四边形ABCD的周长为10cm,
∴AB=AD=DC=2cm,BC=4cm.
∴此圆的半径为2cm.(8分)
(2)设BC的中点为O,由(1)可知O即为圆心.
连接OA,OD,过O作OE⊥AD于E.(9分)
在Rt△AOE中,∠AOE=30°,
∴OE=OA•cos30°=
cm.
∴S△AOD=
×2×
=
(cm2).(10分)
∴S阴影=S扇形AOD-S△OAD=
-
=
-
≈0.3(cm2).(12分)
∴∠BCD=60°(2分)
又∵AC平分∠BCD,
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30度.(4分)
∴
AB= |
AD |
CD |
∴∠BAC=90°,(6分)
∴BC是圆的直径,BC=2AB.(7分)
∵四边形ABCD的周长为10cm,
∴AB=AD=DC=2cm,BC=4cm.
∴此圆的半径为2cm.(8分)
(2)设BC的中点为O,由(1)可知O即为圆心.
连接OA,OD,过O作OE⊥AD于E.(9分)
在Rt△AOE中,∠AOE=30°,
∴OE=OA•cos30°=
3 |
∴S△AOD=
1 |
2 |
3 |
3 |
∴S阴影=S扇形AOD-S△OAD=
60×π×22 |
360 |
3 |
2π |
3 |
3 |
(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义,得∠CAD=∠ACD=∠ACB=30°.再根据圆周角定理的推论得到弧AB=弧AD=弧CD,则AB=AD=CD,同时根据角的度数可以求得∠BAC=90°,根据直角三角形30度所对的直角边是斜边的一半,求得BC=2AD,再根据四边形的周长列方程计算;
(2)由(1)可以发现BC是直径,设其圆心是O,连接OA,OD,根据两条平行线间的距离处处相等,得到三角形AOD的面积等于三角形ACD的面积,则阴影部分的面积等于扇形OAD的面积减去三角形AOD的面积.
(2)由(1)可以发现BC是直径,设其圆心是O,连接OA,OD,根据两条平行线间的距离处处相等,得到三角形AOD的面积等于三角形ACD的面积,则阴影部分的面积等于扇形OAD的面积减去三角形AOD的面积.
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此题中要通过计算角的度数,发现直角三角形和等腰三角形.根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算.尤其是在第二问中,能够把不规则图形的面积转化为构造图形的面积.
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