题目
设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其首项b1和公比q均为整数,若cn=an+bn,c1=2,c2=5,c3=17,求{cn}的通项公
提问时间:2020-10-30
答案
设{an}的首项为a1,公差为d;由题意,d≠0,q≠0,q≠1,
c1=a1+b1=2 (1)
c2=a2+b2=a1+d+b1*q=5 (2)
c3=a3+b3=a1+2d+b1*q^2=17 (3)
(2)-(1),得到
d+b1*q-b1=3 (4)
(3)-(2),得到
d+b1*(q^2-q)=12 (5)
(5)-(4),得到
b1*(q^2-2q+1)=9
b1*(q-1)^2=9
∵q≠1,∴(q-1)^2>0,b1>0,
∵b1,q为整数,∴b1和(q-1)^2中必有一个是3的倍数.
若b1是3的倍数,b1=3k,k∈N,q=1±√[9/(3k)]仅有k=3,q=2,b1=9,a1=-7,d=-6满足要求.
若(q-1)^2是3的倍数,q=√(3k)+1,k∈N,无解.
因此,cn=a1+(n-1)*d+b1*q^(n-1)=-7+(n-1)*(-6)+9*2^(n-1)
=9*2^(n-1)-6n-1
c1=a1+b1=2 (1)
c2=a2+b2=a1+d+b1*q=5 (2)
c3=a3+b3=a1+2d+b1*q^2=17 (3)
(2)-(1),得到
d+b1*q-b1=3 (4)
(3)-(2),得到
d+b1*(q^2-q)=12 (5)
(5)-(4),得到
b1*(q^2-2q+1)=9
b1*(q-1)^2=9
∵q≠1,∴(q-1)^2>0,b1>0,
∵b1,q为整数,∴b1和(q-1)^2中必有一个是3的倍数.
若b1是3的倍数,b1=3k,k∈N,q=1±√[9/(3k)]仅有k=3,q=2,b1=9,a1=-7,d=-6满足要求.
若(q-1)^2是3的倍数,q=√(3k)+1,k∈N,无解.
因此,cn=a1+(n-1)*d+b1*q^(n-1)=-7+(n-1)*(-6)+9*2^(n-1)
=9*2^(n-1)-6n-1
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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