题目
(1)已知:5|(x+9y)(x,y为整数),求证:5|(8x十7y).
(2)试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
(2)试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
提问时间:2020-10-30
答案
证明:(1)已知5|(x+9y)(x,y为整数),
8x+7y=8x+72y-65y=8(x+9y)-65y,
因为已知5|(x+9y)(x,y为整数),65y也能被5整出.
故:5|(8x十7y).
(2)①若n为奇数,设n=2k+1,k为大于2的整数,则写 n=k+(k+1),由于显然(k,k+1)=1,故此表示合乎要求.
②若n为偶数,则可设n=4k或4k+2,k为大于1的自然数.
当n=4k时,可写n=(2k-1)+(2k+1),并且易知2k-1与2k+1互质,
因为,若它们有公因子d≥2,则d|2,但2k-1与2k+1均为奇数,此不可能.
当n=4k+2时,可写n=(2k-1)+(2k+3),并且易知2k-1与2k+3互质,
因为,若它们有公因子d≥2,设2k-1=pd,2k+3=qd,p、q均为自然数,则得(q-p)d=4,可见d|4,矛盾.
故:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
8x+7y=8x+72y-65y=8(x+9y)-65y,
因为已知5|(x+9y)(x,y为整数),65y也能被5整出.
故:5|(8x十7y).
(2)①若n为奇数,设n=2k+1,k为大于2的整数,则写 n=k+(k+1),由于显然(k,k+1)=1,故此表示合乎要求.
②若n为偶数,则可设n=4k或4k+2,k为大于1的自然数.
当n=4k时,可写n=(2k-1)+(2k+1),并且易知2k-1与2k+1互质,
因为,若它们有公因子d≥2,则d|2,但2k-1与2k+1均为奇数,此不可能.
当n=4k+2时,可写n=(2k-1)+(2k+3),并且易知2k-1与2k+3互质,
因为,若它们有公因子d≥2,设2k-1=pd,2k+3=qd,p、q均为自然数,则得(q-p)d=4,可见d|4,矛盾.
故:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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