题目

m.n是正整数,若m大于n,求证2的2的n次方减1能整除2的2的m次方减1

提问时间：2020-10-30

答案

以下叙述较为繁琐,望海涵：
题：求证2^（2^n）-1|2^(2^m)-1 (不知我读懂题没有,以下按此求解).
令2^（2^n）-1=x,2^(2^m)-1=y（便于叙述）.
若x|y,则应有x|（y-x）而y-x={2^(2^m)-1}-{2^（2^n）-1}=2^（2^m）-2^（2^n）=2^（2^n）{2^（2^m-2^n）-1}-----------1式
因为2^（2^n）-1与2^（2^n）互质,所以2^（2^n）-1必整除2^（2^m-2^n）-1----1*式
重复上述步骤（若x|y,则应有x|（y-x））
2^（2^n）-1应整除{2^（2^m-2^n）-1}-{2^（2^n）-1}=2^（2^n）{2^（2^m-2^n-2^n）-1}=2^（2^n）{2^【2^m-2^（n+1）】-1}------------2式
因为2^（2^n）-1与2^（2^n）互质,所以2^（2^n）-1必整除2^【2^m-2^（n+1）】-1-------2*式
比较1式2式可发现其变化在于2的次数由2^m-2^n变为2^m-2^（n+1）,若重复上述步骤,可得3式
2^（2^n）{2^【2^m-2^（n+2）】-1}------------3式
而2^（2^n）-1必整除2^【2^m-2^（n+2）】-1-------3*式
重复.
递归可知：由于n