题目

已知（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的范围．

提问时间：2020-10-30

答案

①当m²+4m-5=0时，得m=1或m=-5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意
当m=-5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；
∴m=1；
②m²+4m-5≠0时即m≠1，且m≠-5，
∵（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0对一切实数x恒成立
∴有

m2+4m−5＞0 △＝16(m−1)2−12(m2+4m−5)＜0

解得1＜m＜19…（5分）
综上得 1≤m＜19…（2分）

此题要分两种情况：①当m²+4m-5=0时，解出m的值，进行验证；②当m²+4m-5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m的范围．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m²+4m-5与0的关系，如果等于0，就不是二次函数了，这一点很重要；