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题目
已知(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的范围.

提问时间:2020-10-30

答案
①当m2+4m-5=0时,得m=1或m=-5,∵m=1时,原式可化为3>0,恒成立,符合题意
当m=-5时,原式可化为:24x+3>0,对一切实数x不恒成立,故舍去;
∴m=1;
②m2+4m-5≠0时即m≠1,且m≠-5,
∵(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立
∴有
m2+4m−5>0
△=16(m−1)2−12(m2+4m−5)<0

解得1<m<19…(5分)
综上得 1≤m<19…(2分)
此题要分两种情况:①当m2+4m-5=0时,解出m的值,进行验证;②当m2+4m-5=0时,根据二次函数的性质,要求二次函数的开口向上,与x轴无交点,即△<0,综合①②两种情况求出实数m的范围.

二次函数的性质.

此题主要考查了二次函数的基本性质,以及分类讨论的思想,此题易错点为讨论m2+4m-5与0的关系,如果等于0,就不是二次函数了,这一点很重要;

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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