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题目
已知函数f(x)=
3
sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是 ______.

提问时间:2020-10-30

答案
函数f(x)=
3
sinωx+cosωx=2sin(ωx+
π
6
),
因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,函数的周期T=π,
所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+
π
6
),因为2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
π
2
+2kπ  k∈Z,
解得x∈[kπ−
π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z

即函数的单调增区间为:[kπ−
π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z

故答案为:[kπ−
π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z
化简函数f(x)=
3
sinωx+cosωx为f(x)=2sin(ωx+
π
6
),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,求出函数的周期,推出ω,得到函数解析式,利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间.

由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性.

本题是基础题,考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周期的求法,考查计算能力,正弦函数的单调增区间的求法,常考题型.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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