题目

帮忙证明下互换行列式两行（列）,行列式变号.其中一步不理解.
D1=∑(-1)^t b1p1……bipi……bjpj……bnpn
=∑(-1)^t a1p1……ajpi……aipj……anpn
=∑(-1)^t a1p1……aipj……ajpi……anpn
其中1……i……j……n为自然排列,
t为p1……pi……pj……pn的逆序数.
问一下第二个等号怎么等到第三个的?
不要复制以前提问中的答案！

提问时间：2020-10-30

答案

如有一个排列15378426,它的逆序数为11
如果交换中间的任意两个相邻的数,逆序数改变1,增加1或减少1,或者说逆序数奇偶性发生了改变.
如交换7,8增加1个逆序,交换后为15387426,它的逆序数为12.
如交换4,2减少1个逆序,交换后为15378246,它的逆序数为10.
这是因为这对数的交换只改变这两个数的顺序关系,不会改变与其他元素的顺序关系,原来是顺序,交换后变为逆序,增加1个逆序,反之,原来是逆序,交换后变为顺序,减少1个逆序.下面用(x,y)表示两个相邻的两数x,y的一个交换.
下面解决一对不相邻的数交换的问题,比如中间隔了3个数,如x123y,交换后为y123x,可将这个交换分步完成,(x,1),(x,2),(x,3),(x,y),(y,3),(y,2),(y,1),化为了7个相邻的数交换,每一次交换奇偶性发生了改变,交换7次逆序数奇偶性也改变了7次.同理,如果要交换的两数中间隔了k个数,则化为了2k+1个相邻的数交换,奇偶性也改变了2k+1次,2k+1是个奇数,奇偶性改变偶数次,奇偶性不变,奇偶性改变奇数次,奇偶性要改变.
现在解决你题中的问题,n阶行列式值是n!项的代数和,这每一项是不同行不同列的所有元素的乘积,项的符号由列标的逆序数(行标按从小到大顺序)确定,如果交换两列,每一项对应的两列上的元均发生交换,此时每一项均改变符号,故行列式的值也改变符号.