题目

1.已知函数f(x)=(ax-1)e^x,a属于R.（2）若函数f(x)在区间（0,1）上是单调增函数,求a的取值范围.
2.设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P（1,0）,且在P点处的切线斜率为2.（1）求a,b的值.（2）证明：f(x)小于等于2x-2
求具体解题步骤.

提问时间：2020-10-30

答案

1,对f(x)求导,有f'(x)=ae^x+(ax-1)e^x=(ax+a-1)e^x,若其在(0,1)单调增,则当x属于(0,1)时,有ax+a-1＞0,对其分离变量,即x＞(1-a)/a,有0＞(1-a)/a,推得出0﹤a﹤1
2,∵在P点处的切线斜率为2,f'(x)=1+2ax+b/x
∴代入(1,0),有2=1+2a+b,0=1+a+0
∴a=-1,b=3
令F(x)=f(x)-2x+2=x-x²+3lnx-2x+2
对其求导,有
F'(x)=1-2x+-2+3/x=(-2x²-x+3)/x=(-2(x+1/4)²+25/8)/x当0≤x≤1时,导数大于0
所以(0,1)递增,(0,正无穷)递减
而当x=1时,有F(x)=0,所以F(x)恒大于零
所以f(x)小于等于2x-2
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