题目

椭圆x方/4+y方/3=1,若过左焦点且斜率为k的直线与椭圆相交于MN两点 求证1/MF1+1/MF2是定值求出这个定值

提问时间：2020-10-30

答案

首先先说一下,我都快打完了一不小心又删了,本来不想再打了,但是我愿意加入大家互帮互助的行列来解题,orz555555555
证明：1/mf1+1/nf1=4/3,理由如下：
因为f1(-1,0),mn过f1
所以设mn:y=k(x+1)
将y=k(x+1)带入x2/4+y2/3=1中,
(3+4k2)x2+8k2x2+4k2-12=0
设m(x1,y1) n(x2,y2)
则x1+x2=-8k2/(3+4k2) x1x2=(4k2-12)/(3+4k2)
所以y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=-9k2/(3+4k2)
mn=根号下{（1+k2）[(x1+x2)2-4x1x2]}=12(1+k2)/(3+4k2)
向量mf1=(-1-x1,-y1) 向量nf1=(-1-x2,-y2)
又因为向量mf1与向量nf1反向
所以mf1nf1=-向量mf1向量nf1=-(x1+1)(x2+1)-y1y2=-(-8k2+4k2-12+3+4k2-9k2)/(3+4k2)
=9(1+k2)/(3+4k2)
所以1/mf1+1/nf1=(mf1+nf1)/(mf1nf1)=mn/(mf1nf1)=4/3,证毕.
或者可以令k=0,先算出4/3再讨论,在此不做赘述啦bye