题目

已知抛物线y=x²+（2n-1）x+n²-1（n为常数）．
（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标．如果不存在，请说明理由．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）由已知条件，得n²-1=0
解这个方程，得n₁=1，n₂=-1
当n=1时，得y=x²+x，此抛物线的顶点不在第四象限．
当n=-1时，得y=x²-3x，此抛物线的顶点在第四象限．
∴所求的函数关系为y=x²-3x；
（2）由y=x²-3x，
令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
∴它的顶点为（

3

2

，−

9

4

），对称轴为直线x=

3

2

，其大致位置如图所示，
①∵BC=1，易知OB=

1

2

×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x²-3x上，
∴点A的纵坐标y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．
②∵点A在抛物线y=x²-3x上，故可设A点的坐标为（x，x²-3x），
∴B点的坐标为（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x轴下方，
∴x²-3x＜0，
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周长，
C=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值，
∴当x=

1

2

时，矩形ABCD的周长C最大值为

13

2

．
此时点A的坐标为A（

1

2

，−

5

4

）．