题目

求证:在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0响亮的充要条件是P为三角形的重心

提问时间：2020-10-30

答案

当P是三角形ABC的重心
延长AP交BC于D,再延长到E,使|DE|=PD|,连接BE,EC
则：|PD|=(1/2)|PA|,|PE|=|PA|,向量PA=-向量PE
因D是BC中点,又是PE中点
所以：PBEC是平行四边形
所以：向量PB+向量PC=向量PE=-向量PA
向量PA+向量PB+向量PC=0向量
当向量PA+向量PB+向量PC=0向量
作BE平行PC,CE平行PB,交于E
连接PE,交BC于D
则：PBEC是平行四边形,所以：向量PE=向量PB+向量PC,同时D是BC中点
而：向量PA+向量PB+向量PC=0向量
所以：向量PA+向量PE=0向量
向量PA=-向量PE
所以：P,A,E共线,即AP延长线与BC交于BC的中点
同理可证：BP延长线与AC交于AC的中点,CP延长线与AB交于AB的中点
所以：P为三角形的重心
所以：在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0向量的充要条件是P为三角形的重心.