题目

如果偶函数f（x）在R上可导，且是周期为T=3的周期函数，且f′（1）=0，则方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根个数至少是（　　）
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5

提问时间：2020-10-30

答案

由偶函数f（x）的周期为T=3可得，f（x+

3

2

）=f（x-

3

2

）=f（

3

2

-x），
∴偶函数f（x）的图象关于直线x=

3

2

对称，且函数f′（x）是奇函数，且周期等于

3

2

．
由偶函数f（x）在R上可导，知 f'（0）=f'（

3

2

）=f'（3）=0．
再由周期等于

3

2

以及 f′（1）=0，求得 f′（

5

2

）=f′（4）=f′（

9

2

）=f′（

11

2

）=f′（6）=0．
综上，方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根为 x=0，

3

2

，1，

5

2

，3，4，

9

2

，

11

2

，6，共有9个，
故选B．

由题意可得，函数f′（x）是奇函数，故可得 f′（0）=0 且周期等于

3

2

．再由 f′（1）=0，利用函数的周期性求出方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根，从而得出结论．

本题考点：导数的运算；函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，利用函数的奇偶性与周期性求函数的值，属于中档题．