题目
已知:如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9358d109b3de9c820c3e0b3e6f81800a19d8432c.jpg)
(1)求证:DE为⊙O的切线.
(2)求证:AB:AC=BF:DF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9358d109b3de9c820c3e0b3e6f81800a19d8432c.jpg)
(1)求证:DE为⊙O的切线.
(2)求证:AB:AC=BF:DF.
提问时间:2020-10-30
答案
证明:(1)连结DO、DA,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d058ccbf6c81800af8be7bbfb23533fa828b472c.jpg)
∵AB为⊙O直径,
∴∠CDA=∠BDA=90°,
∵CE=EA,
∴DE=EA,
∴∠1=∠4,
∵OD=OA,
∴∠2=∠3,
∵∠4+∠3=90°,
∴∠1+∠2=90°,
即:∠EDO=90°,
∵OD是半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵∠3+∠DBA=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠4=∠DBA,
∵∠CDA=∠BDA=90°,
∴△ABD∽△CAD,
∴
=
,
∵∠FDB+∠BDO=90°,∠DBO+∠3=90°,
又∵OD=OB,
∴∠BDO=∠DBO,
∴∠3=∠FDB,
∵∠F=∠F,
∴△FAD∽△FDB,
∴
=
,
∴
=
,
即AB:AC=BF:DF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d058ccbf6c81800af8be7bbfb23533fa828b472c.jpg)
∵AB为⊙O直径,
∴∠CDA=∠BDA=90°,
∵CE=EA,
∴DE=EA,
∴∠1=∠4,
∵OD=OA,
∴∠2=∠3,
∵∠4+∠3=90°,
∴∠1+∠2=90°,
即:∠EDO=90°,
∵OD是半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵∠3+∠DBA=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠4=∠DBA,
∵∠CDA=∠BDA=90°,
∴△ABD∽△CAD,
∴
AB |
AC |
BD |
AD |
∵∠FDB+∠BDO=90°,∠DBO+∠3=90°,
又∵OD=OB,
∴∠BDO=∠DBO,
∴∠3=∠FDB,
∵∠F=∠F,
∴△FAD∽△FDB,
∴
BD |
AD |
BF |
DF |
∴
AB |
AC |
BF |
DF |
即AB:AC=BF:DF.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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