题目

证明n(n^2-1)(n^2-5n+26)能被120整除,

提问时间：2020-10-30

答案

原式=n(n+1)(n-1)(n^2-5n+6+20)
=n(n+1)(n-1)(n^2-5n+6)+20n(n+1)(n-1)
=n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)+20n(n+1)(n-1)
因为n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)有连续5个数,所以必有一个数有因数4,一个数有因数2（但没有4）,一个数有因数5,一个数有因数3,得2*3*4*5=120 所以120整除n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)
而n(n+1)(n-1)根据上述分析可知,其中有因数2和3 2*3=6 所以6整除n(n+1)(n-1),所以120整除20n(n+1)（n-1）；
因为120整除n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3),且整除20n(n+1)(n-1),所以120整除原式