题目

已知a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证：a=b=c=d．
a4表示a的4次方

提问时间：2020-10-30

答案

a4+b4+c4+d4-4abcd=0,
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd=0,
所以
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0．
因为(a^2-b^2)^2≥0,(c^2-d^2)^2≥0,(ab-cd)^2≥0,所以
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0,
所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a,b,c,d都为正数,所以a+b≠0,c+d≠0,所以
a＝b,c=d．
所以
ab-cd=a^2-c^2=(a+c)(a-c)=0,
所以a＝c．故a=b=c=d成立．