题目

集合为何会产生悖论?其根本原因是什么?是集合的概念本身存在问题吗?

提问时间：2020-10-30

答案

罗素悖论,广为人知的是其通俗形式,即理发师悖论.理发师悖论是说：有一个理发师给自己定了个规则,他只给那些不给自己刮脸的人刮脸,而不给那些给自己刮脸的人刮脸.这规则就导出了一个矛盾,他是否该给自己刮脸?如果他自己刮脸的话,那么他属于“给自己刮脸”的人,因而按规则,他就不该给自己刮脸；如果他自己不刮脸的话,那么他属于“不给自己刮脸”的人,因而按规则,他就应该给自己刮脸.如此一来,理发师就陷入了怪圈,他给自己刮脸不对,不给自己刮脸也不对,总之他就是个错误的存在.
罗素悖论源自对集合论的思考,集合论中当然就不是理发师这样的通俗版本了.“集合”是一个很原初的概念,它无法再由其他概念来定义了,表征的其实是把某些东西放在一块的状态.定义集合,可以通过枚举,即把集合里的东西一件件列出来,对大集合这当然就很费时费力；另一种方法是通过描述来定义集合,也就是对集合中元素的描述来给出集合,比如“所有自己刮脸的人”就是用描述产生集合的.但正是在这种“描述”方法里,理发师悖论产生了.理发师悖论可以看作是理发师对其客户集合的一种描述,他想明确一下他的客户,但这时却出现了集合论中大问题：不是所有描述都可以成为“集合”.数学作为理性思维的典范,作为其基础的“集合”自然应该相当地“普世”,而现在却发现,数学中的“真理”却依赖于人为的“选择”,你只有适当地选择了“集合”,才能保证数学的“真理”.那么,数学结果的“真理”性,就依赖于人的选择了,与人的选择相关,“真理”还是真理吗?这就是第三次数学危机中的核心问题.
通常认为理发师悖论只是因为描述规则涉及了自身,只要在定义集合时把包含自身的集合排除掉,就可以解决理发师悖论了.但对集合论中原始问题的考察就可以知道,问题不是这么简单的,罗素悖论还涉及语言学的根本问题,即在日常语言里存在可以被描述但实际上却根本没有的东西,语言中的某些概念并不是那么可靠的,很多概念可能是没有指称的.现在一般都知道,西方哲学在20世纪有所谓“语言学的转向”,即西方人将对哲学的研究转向为对语言的研究,认为任何思想都要通过语言来表述,如果能对语言的规则进行充分研究,就可以把语言中可能产生问题的规则排除掉,那么剩下来的“好”规则自然就能产生又纯又正的“好思想”了.“好”的语言的规则显然应该与个人的特殊偏好无关,它应该适用于所有人,是某种“普世”的规则.而罗素悖论却表明,“规则”不能把自身也规则进去,“规则”只能用于整治别人,如果把自己也包含进去,就免不了悖论了.因而“规则”无法“普世”,普世的“规则”并不是可靠性的保证,它不能保证生成的东西肯定是有意义的.“描述”可以符合纯形式的语法规则,但符合规则却不能保证描述出来的肯定是个“东西”,它完全可能“不是个东西”.因而,西方哲学家们试图通过对纯形式的语言规则的研究来给出思想正确性的判定,其努力必然是徒劳的,思想的正确与否,离不开对内容的考察,离不开拥有思想的人.,