题目

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），且y＝

OM

•

ON

（O为坐标原点）
（Ⅰ）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2009，求a的值．

提问时间：2020-10-30

答案

（Ⅰ）因为M(1+cos2x，1)，N(1，3sin2x+a)所以f(x)＝OM•ON＝1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+π6)+1+a．（Ⅱ）f(x)＝2sin(2x+π6)+1+a因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6当2x+π6＝π2，即x＝π6时，f（x）max=3+a所以...

（Ⅰ）题目给出了两点的坐标，即两向量

OM

和

ON

的坐标，直接运用两向量的数量积的坐标表示可求函数f（x）．
（Ⅱ）把求出的函数表达式化积后求其在x∈[0，

π

2

]时的最大值，由最大值等于2009可以求a的值．

本题考点：平面向量数量积的运算；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了三角函数的化积问题，三角函数的化积是常见题型，应重点掌握．