题目

设x,y满足x^2/4+y^2=1,则k=(x

提问时间：2020-10-30

答案

设x,y满足x^2/4+y^2=1,则k=(x-1)^2+y^2的最大值为
x^2/4+y^2=1 可以知道(x,y)是长轴为2,短轴为1,中心为原点的椭圆上的点
k=(x-1)^2+y^2
有k的表达式可以知道它表示的是以(1,0)为圆心,半径为√k的圆的集合
题意即为椭圆上的点使得以(1,0)为圆心的圆的半径最大,
通过画图我们知道如果圆通过椭圆的左顶点(-2,0),可以画出一个最大的圆
此时的半径√k=1-(-2)=3
所以k的最大值为9
法二：
换元,可设
x=2cost,y=sint
k=(2cost-1)^2+(sint)^2
=3[cost-(2/3)]^2+(2/3)
易知,当cost=-1时,(k)max=9