题目

已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求y=f（x²-2）的值域．

提问时间：2020-10-30

答案

设函数f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=0，所以c=0，
即f（x）=ax²+bx，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+2ax+a+bx+b=f（x）+x+1=ax²+bx+x+1，
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1，a+b=1，
解得a=b=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x2+

1

2

x=

1

2

(x+

1

2

)2−

1

8

，该函数在（-∞，-

1

2

）上递减，在[−

1

2

，+∞）上递增，
对于函数求y=f（x²-2），令t=x²-2≥-2，所以要求函数y=f（x²-2）值域，即求函数y=f（t）在[-2，+∞）上的值域，
所以f（t）≥f（−

1

2

）=-

1

8

，
所以函数y=f（x²-2）的值域为[-

1

8

，+∞）．