题目

偏导数的证明
r=(x^2+y^2+z^2)12
证明：r(xx)+r(yy)+r(zz)=2

提问时间：2020-10-30

答案

对x的一阶导数
r(x)=(1/2)*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*2x
=x*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
对y的一阶导数
r(y)=y*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
对z的一阶导数
r(z)=z*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
二阶偏导函数
r(xx)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-(1/2)x*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)*2x
=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-x^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
r(yy)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-y^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
r(zz)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-z^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
r(xx)+r(yy)+r(zz)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-x^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2) +(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-y^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2) +(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-z^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
=3(x^2+y^2+z^2)(-1/2)-(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*(x^2+y^2+z^2)^(-1)
=3(x^2+y^2+z^2)(-1/2)-(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
=2(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
=2/r