题目

关于多项式的配凑与提公因式
如题,证明a^2+b^2+9-2a-2b+2ab>0
左边=(a+b-1)^2+8>0,成立
可是到底是怎么看出来有(a+b-1)^2的关系的呢?
我本人只想到把a^2+b^2+2ab化为(a+b)^2然后+9-2a-2b就想不下去了
看了答案只能勉强变为 左边=(a+b)^2-(a+b)-a-b+9=(a+b-1)(a+b)-(a+b-1)+8=(a+b-1)^2+8
可是这样完全不靠谱,求问是怎么样把原式化成完全平方式的?有什么方法吗?

提问时间：2020-10-30

答案

a^2+b^2+9-2a-2b+2ab
=(a^2+b^2+2ab)-2(a+b)+9
=(a+b)^2-2(a+b)+1+8
如果觉得快要看晕了,建议用换元法
假设x=a+b
上式可转换为x^2-2x+1+8=(x-1)^2+8
然后再用x=a+b代入,换元回来
原式=(x-1)^2+8=(a+b-1)^2+8