题目

设函数f(x)=p(x-1/x)-2Inx,g(x)=2e/x（p是实数,e为自然对数的底数）
若在【1,e】上至少存在一点X0（0是下标）,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.

提问时间：2020-10-30

答案

设h(p)=p(x0-1/x0)-2lnx0 ,x0∈【1,e】
(x0-1/x0)>0
所以h(p)=p(x0-1/x0)-2lnx0 单增
当p=1时
f(x)=p(x-1/x)-2lnx=x-1/x-2lnx
f'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2>=0
f(x)=x-1/x-2lnx在【1,e】上单增
最大值f(e)=e-1/e-2g(x0)成立
所以p>1,这时
f'(x)=p+p/x^2-2/x>1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2>=0
f(x)=p(x-1/x)-2lnx在【1,e】上单增
k(x)=f(x)-g(x)在【1,e】上单增 (因为g(x)在【1,e】上单减）
在【1,e】上至少存在一点X0（0是下标）,使得f(x0)>g(x0)成立
只需k(x)最大值k(e)>0
k(e)=p(e-1/e)-2-2>0
p>4/(e-1/e)