题目

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？

提问时间：2020-10-30

答案

由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，解之得：lga-lgb=1，
∴

a

b

=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x²+（lga+2）x+lgb≥2x，即x²+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，
由△=lg²a-4lgb≤0，故得（1+lgb）²-4lgb≤0
即（lgb-1）²≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3
当x=-2时，f（x）_min=-3．