题目

9.甲、乙两人进行了下面的游戏.两人约定一个不为0的自然数N.然后由甲开始,轮流把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字之一填入下面的任一方格中,每一方格只填一个数字,六个方格都填上数字（数字可重复）后,就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除,就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除,就算甲胜.设N小于15,那么当N为哪些自然数时,乙能获胜.（6个横着的方格）

提问时间：2020-10-30

答案

由于甲先取,N如果是偶数,只要甲在最右边方格中放入一个奇数,就能使这个六位数不能被N整除,乙不能获胜.如果N=5,甲可以在最右边方格中填入一个不为0或5的数,乙也不能获胜.如果N=1,随便怎么取,乙必胜；如果N=3或9,乙在放入最后一个数时,总能把这6个数之和凑成3的倍数或9的倍数,乙也能胜；如果N=7、11、13时.我们注意到1001=3×11×13,举个例子1001×123=123123,我们把格子从左到右配好对了,第1格和第4格,第2格和第5格,第3格和第6个配对,甲在任意一对格子中放入一个数,乙就在这对格子的另一个格子中放入同样的数,那样这六位数肯定能被 1001整除,也就能被7整除,乙获胜.
所以,当N=1、3、7、9、11、13时,乙才能获胜