题目

已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R,ω＞0）的最小值正周期是π／2.（1
若|f（x）-m|≦2在x∈[-π／8,π／8]上恒成立,求m范围

提问时间：2020-10-30

答案

已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R,ω＞0）的最小值正周期是π／2；
若|f（x）-m|≦2在x∈[-π／8,π／8]上恒成立,求m范围
f(x)=2cos(2ωx)+sin(2ωx)+1=cotφcos(2ωx)+sin(2ωx)+1
=(1/sinφ)[cos(2ωx)cosφ+sin(2ωx)sinφ]+1
=(1/sinφ)cos(2ωx-φ)+1=(√5)sin(2ωx-arccot2)+1
其中,cotφ=2,sinφ=1/√5,cosφ=2/√5.
T=2π/2ω=π/ω=π/2,故ω=2；于是f(x)=(√5)sin(4x-arccot2)+1
在[-π/8,π/8]上,f(-π/8)=(√5)sin(-π/2-arccot2)+1=-(√5)cos(arccot2)+1=-2+1=-1
f(π/8)=(√5)sin(π/2-arccot2)+1=(√5)cos(arccot2)+1=2+1=3
即在区间[-π/8,π/8]上-1≦f(x)≦3；故要使|f（x）-m|≦2在区间[-π/8,π/8]上恒成立,应使
︱3-m︱≦2恒成立,故-1≦m≦5.