题目

求关于x的方程ax²-（a²+a+1）x+a+1=0至少有一个正根的充要条件．

提问时间：2020-10-30

答案

法一：若a=0，则方程即为-x+1=0，
∴x=1满足条件；
若a≠0，∵△=（a²+a+1）²-4a（a+1）
=（a²+a）²+2（a²+a）+1-4a（a+1）
=（a²+a）²-2a（a+1）+1=（a²+a-1）²≥0，
∴方程一定有两个实根．
故而当方程没有正根时，应有

a2+a+1 a ≤0 a+1 a ≥0

，解得a≤-1，
∴至少有一正根时应满足a＞-1且a≠0，
综上，方程有一正根的充要条件是a＞-1．
方法二：若a=0，则方程变为-x+1=0，x=1满足条件，若a≠0，
则方程至少有一个正根等价于

a+1

a

＜0或

a+1＝0 a2+a+1 a ＞0

或

a2+a+1 a ＞0 a+1 a ＞0 (a2+a+1)2−4a(a+1)≥0

⇔-1＜a＜0或a＞0．
综上：方程至少有一正根的充要条件是a＞-1．

法一：对a-0和a≠0进行分类讨论，至少有一个正根△≥0解出无正根的情况即可．
法二：对a-0和a≠0进行分类讨论，至少有一个正根，列出它的所有情况一一求解即可．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论的思想，是中档题．