题目

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1.0)且点p(0.1)在C1上.
1求椭圆C1的方程
2设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y^2=4x相切,求直线l的方程

提问时间：2020-10-30

答案

（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（-1,0）,所以c=1,
点P（0,1）代入椭圆X²/a²+y²/b²=1,得b=1,所以a²=b²+c²=2
所以椭圆C1的方程为x²/2+y²=1
（2）直线l的斜率显然存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
由
x²/2+y²=1 且y=kx+m
,消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0,
因为直线l与椭圆C1相切,
所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0
整理得2k²-m²+1=0①
由
y²=4x且y=kx+m
,消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0
因为直线l与抛物线C2相切,所以△=（2km-4）2-4k²m²=0
整理得km=1②
综合①②,解得
k=根号2/2 m=根号2

或
k=-根号2/2m=-根号2
所以直线l的方程为y=根号2/2X+根号2或y= - 根号2/2X-根号2