题目

已知f(x)=

a-x2-4x(x＜0) f(x-2)(x≥0)

，且函数y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（　　）
A. [-4，0]
B. [-8，+∞）
C. [-4，+∞）
D. （0，+∞）

提问时间：2020-10-30

答案

因为当x≥0的时候，f（x）=f（x-2），
当x∈[0，2）时，x-2∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=a-（x-2）²-4（x-2）
当x∈[2，4）时，x-4∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=f（x-4）=a-（x-4）²-4（x-4）
依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a-x²-4x=-（x+2）²+a+4，
在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a-x²-4x=-（x+2）²+a+4在区间[-2，0）上的部分．
二次函数a-x²-4x=-（x+2）²+a+4顶点为（-2，a+4），
y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，
需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4
∴-4≤a≤0或a＞0
综上可得a≥-4
故选C

当x≥0时，f（x）=f（x-2），可得当x≥0时，f（x）在[-2，0）重复的周期函数，根据x∈[-2，0）时，y=a-x²-4x=4+a-（x+2）²，对称轴x=-2，顶点（-2，4+a），进而可进行分类求实数a的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．