当前位置: > 将函数f(x)=1/x2+4x+3展开成(x-1)的幂级数....
题目
将函数f(x)=
1
x

提问时间:2020-10-30

答案
因为f(x)=
1
x2+4x+3
1
(x+1)(x+3)
1
2(1+x)
1
2(3+x)
1
4(1+
x−1
2
)
1
8(1+
x−1
4
)

又因为
1
1+x
=
n=0
(−1)nxn
,-1<x<1,
故在−1<x<3中,
1
4(1+
x−1
2
)
1
4
n=0
(−1)n
2n
(x−1)n

−3<x<5中,
1
8(1+
x−1
4
)
1
8
n=0
(−1)n
4n
(x−1)n

再注意到(-1,3)∩(-3,5)=(-1,3),
因此,f(x)=
1
x2+4x+3
n=0
(−1)n(
1
2n+2
1
22n+3
)(x−1)n
,(-1<x<3).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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