题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB=0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？

提问时间：2020-10-30

答案

由5AC-3AB=0，得到5AC=3AB，设AB为5xcm，则AC=3xcm，
在Rt△ABC中，由BC=8cm，根据勾股定理得：25x²=9x²+64，
解得：x=2，或x=-2（舍去），
∴AB=5x=10cm，AC=3x=6cm，
设经过t秒△ABC和△PQC相似．
则有BP=2tcm，PC=（8-2t）cm，CQ=tcm，
分两种情况：
①当△ABC∽△PQC时，有

BC

QC

＝

AC

PC

，即

8

t

=

6

8−2t

，解得t＝

32

11

；
②当△ABC∽△QPC时，有

AC

QC

＝

BC

PC

，即

6

t

＝

8

8−2t

，解得t=

12

5

，
综上可知，经过

12

5

或

32

11

秒△ABC和△PQC相似．