题目

设函数f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1为常数
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）试推断函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）不等式即为|x-a|＜ax，0＜a＜1，若x≤0，则ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化为（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
由0＜a＜1可得，

a

1+a

＜x＜

a

1−a

，故不等式解集为{x|

a

1+a

＜x＜

a

1−a

}．
（2）由条件得：f（x）=

(1−a)x−a当x≥a时 −(1+a)x+a当x＜a时

，
∵1＞a＞0，
∴-（1+a）＜0，1-a＞0，故函数f（x）在（-∞，a）上是减函数，且在[a，+∞）上是增函数．
故当 x=a 时，f（x）存在最小值f（a）．

（1）把f（x）的解析式代入到f（x）＜0得到一个不等式，当x小于等于0时得到不等式不成立；当x大于0时，对不等式的两边分别平方，移项后利用平方差公式分解因式，根据a大于0小于1 求出不等式的解集即可．
（2）函数可变为f（x）=

(1−a)x−a当x≥a时 −(1+a)x+a当x＜a时

，根据a的范围，运用函数的单调性，得出答案．

本题考点：绝对值不等式；函数的最值及其几何意义．

考点点评：此题考查了其他不等式的解法，分类讨论的数学思想，本题还考查函数的最值及其几何意义，解不等式，分类讨论的思想，注意根据函数的形式判断出函数中参数的取值范围，是一道综合题．