题目

复数域上的矩阵AB-BA=A,求证A仅有零特征值

提问时间：2020-10-30

答案

由AB-BA = A有AB = BA+A = (B+E)A.
进而有AB² = (B+E)AB = (B+E)²A,AB³ = (B+E)³A,.,AB^k = (B+E)^k·A.
一般的,对任意多项式f(x),可得Af(B) = f(B+E)A.
进一步可得:A²f(B) = Af(B+E)A = f(B+2E)A²,A³f(B) = f(B+3E)A³,...,A^k·f(B) = f(B+kE)A^k.
如果存在多项式f(x)与正整数k使f(B) = 0,而f(B+kE)可逆.
那么由f(B+kE)A^k = A^k·f(B) = 0,可得A^k = 0,即A是幂零矩阵.
而幂零矩阵仅有零特征值 (若λ为A的特征值,则λ^k为A^k的特征值,由A^k = 0有λ = 0),即得结论.
于是只需找到满足条件的多项式f(x)和正整数k.
由Hamilton-Cayley定理,当f(x)为B的特征多项式,有f(B) = 0.
设B的特征值,也即f(x)的n个根(计重数)为λ1,λ2,...,λn.
易见存在正整数k,使λ1+k,λ2+k,...,λn+k都不是f(x)的根.
于是f(B+kE)的特征值f(λ1+k),f(λ2+k),...,f(λn+k)都不为0,即f(B+kE)可逆.
这样所取的f(x)与k满足要求.
注:最后这里用到结论:
若B的特征值为λ1,λ2,...,λn,f(x)是任意多项式,则f(B)的特征值为f(λ1),f(λ2),...,f(λn).
由B相似于上三角矩阵(如Jordan标准型),可以只对上三角矩阵证明,而对上三角矩阵是显然的.