题目

乘法公式练习题 用完全平方公式或完全平方差（就一道）
计算：（3+1）乘（3的三次方 +1）乘（3的四次方 +1）乘（3的八次方 +1）乘（3的十六次方 +1）

提问时间：2020-10-30

答案

(3+1)*(3^3+1)*(3^4+1)*(3^8+1)*(3^16+1)
=(3^4+3^3+3+1)*(3^4+1)*(3^8+1)*(3^16+1)
=[(3^4+1)*(3^4+1)+(3^3+3)*(3^4+1)]*(3^8+1)*(3^16+1)
=[(3^8+2*3^4+1)+(3^7+3^5+3^3+3^1)]*(3^8+1)*(3^16+1)
=[(3^8+1)+2*3^4+(3^7+3^5+3^3+3^1)]*(3^8+1)*(3^16+1)
=[(3^8+1)*(3^8+1)+2*3^4*(3^8+1)+(3^7+3^5+3^3+3^1)*(3^8+1)]*(3^16+1)
=[(3^16+2*3^8+1)+2*(3^12+3^4)+(3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1)]*(3^16+1)
=[(3^16+1)+2*(3^12+3^8+3^4)+(3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1)]*(3^16+1)
=(3^16+1)*(3^16+1)+2*(3^12+3^8+3^4)*(3^16+1)+(3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1)*(3^16+1)
=(3^32+2*3^16+1)+2*(3^28+3^24+3^20+3^12+3^8+3^4)+(3^31+3^29+3^27+3^25+3^23+3^21+3^19+3^17+3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1)
=(3^32+1)+2*(3^28+3^24+3^20+3^16+3^12+3^8+3^4)+(3^31+3^29+3^27+3^25+3^23+3^21+3^19+3^17+3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1)
=(3^32+3^28+3^24+3^20+3^16+3^12+3^8+3^4) + (3^28+3^24+3^20+3^16+3^12+3^8+3^4+3^0) + (3^31+3^29+3^27+3^25+3^23+3^21+3^19+3^17+3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1)
显然,结果是三个等比数列之和的和
3^32+3^28+3^24+3^20+3^16+3^12+3^8+3^4 = 3^4*(1-(3^4)^8)/(1-3^4) = 81*(81^8-1)/80
3^28+3^24+3^20+3^16+3^12+3^8+3^4+3^0 = 3^0*(1-(3^4)^8)/(1-3^4) = (81^8-1)/80
3^31+3^29+3^27+3^25+3^23+3^21+3^19+3^17+3^15+3^13+3^11+3^9+3^7+3^5+3^3+3^1 = 3^1*(1-(3^2)^16)/(1-3^2) = 3*(81^8-1)/8
所以
(3+1)*(3^3+1)*(3^4+1)*(3^8+1)*(3^16+1) = 81*(81^8-1)/80 + (81^8-1)/80 + 3*(81^8-1)/8 = (81^8-1)*(81/80 + 1/80 + 30/80) = (81^8-1)*1.4 = (1853020188851841-1)*1.4 = 2594228264392576