题目

求点到平面的距离的思路和方法,直线到平行平面的距离思路和方法,两个平行平面的距离的思路和方法,异面直线的距离的思路和方法,问题有点多,但是我出高分,请回答的人尽量说得通俗简单,我人笨…复制来的答案我不要的哦…请原创…谢谢!
麻烦说清解题思路

提问时间：2020-10-30

答案

解答这类题最直观简单的方法就是用向量,如果题上没有坐标系自己可以建合适的坐标系.下面我给你说一下吧.
第一,点到面的距离：
我先说思路吧,你可以想象一下将一个直角三角形DAC（D是面外一点,AC在面ABC上,∠DCA=90）垂直放在面ABC上,那么我们所要求的就是线段DC对吧.如果我们知道了AD与CD之间的夹角,那么我们就可以算出CD（因为A,D的坐标已知,AD的长度就能算出来）.现在我们要做的就是求这个∠ADC,因为DC是垂直面ABC的,所以我们可以用面ABC的一法向量来代替DC从而计算出他们之间的夹角（AD于DC之间的夹角和AD与面ABC的法向量之间的夹角是相等的,因为CD和法向量都同时垂直于面ABC）.现在我们的主要目的显然就是求出面ABC的法向量.
假设是求点D（x0.y0,z0)到面ABM上的距离,(一般点D的坐标都是告诉了,或者是很容易求的),在面ABC上找任意三个点（只要能很容易找出它的坐标就行）.这儿我们假A（x1.y1,z1),B（x2.y2,z2),M（x3.y3,z3),然后设平面ABM的法向量为n(x4,y4,y5).
则应该有n⊥AM,n⊥AM(这里的n,AB,AM都是向量）,然后带入数据,解这两个方程,就会得到一个n的坐标,当然是有一个未知数的.为了方便给你说我就举具体的数字吧,我在这儿假设向量AB=（1,1,1）,向量AM=(1,2,3）根据向量的垂直则有：x4+y4+z4=0; x4+2*y4+3*z4=0;根据这两个方程我们可以得到x4=-z4,y4=-2z4,因此法向量n的坐标可表示为（z4,-2z4,z4）.
到了这个后,我们就可以随便假设z4的值了（因为无论怎么取,n都是平面的法向量,对我们用来求AD和法向量之间的夹角无影响,当然注意一些特殊值,比如这儿z4就不能取0）,假设我们取1,那么n=（1,-2,1）
那么AD与面ABM法向量之间的夹角就的余弦就等于：（AD向量*n向量）/(|AD|*|n|),好了问题解决了,所求的CD=|AD|*上面我们所求出的余弦值.
在这儿我要特别提醒你的是,注意（AD向量*n向量）/(|AD|*|n|),这个值你算出来可能是负的,为什么呢?这儿你注意你法向量的方向,如果方向反了你算的就是∠ADC的补角的余弦,呵呵,如果是负值直接再取它的负就行,这点你肯定懂的.
至于
直线到平行平面的距离思路和方法,该直线上任意一点到平行平面的距离就是这条直线到平面的距离,同理两平行平面中,平面上任意一点的到另一平面的距离就是这两个平行平面之间的距离.所以其实这两个问题都转换为了点到平面的距离,方法同上.其实这两种问题更简单,因为你再取我们上面说道的D点是,你可以在直线上找一个已知坐标的点,对吧,呵呵.
异面直线的距离的思路和方法：
这个考得非常少,书上有公式,我几年没碰那个书了,所以记不住了,不好意思,呵呵.说真的其实这个只要你记住了公式,带入数据就能算出来,只不过公式有点长,考试基本上都不会考这种情况.
希望你能理解,当初我用这种方法做这类题是通***,只要不出计算上的意外,绝对满分,而且格式都是一样的,非常实用.最后提醒你,注意选坐标,选好了坐标计算才更容易.
希望能帮到您,祝您学习愉快,以上或许有些地方输入有误,请谅解,希望你能懂,谢谢
如果还有什么不懂的可以追问我,或者在线联系我,都行!