题目

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从A点开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？

提问时间：2020-10-30

答案

（1）如图1，
由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒，
所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形．
（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图2，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切线长定理得，PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ²=PH²+HQ²，即 （26-2t）²=8²+（26-4t）²
化简整理得 3t²-26t+16=0，
解得t₁=

2

3

或 t₂=8，
所以，当t₁=

2

3

或 t₂=8时直线PQ与⊙O相切．